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Pruebas de Uniformidad

La prueba de Ji-cuadrada es una prueba para demostrar, estadísticamente hablando, que los números que produce un generador de aleatorios tienen (o no) una distribución uniforme.

Se necesitan por lo menos 100 números generados.

Paso 1: Como los números están en el rango 0 y 1 entonces se divide este rango en un número finito de subrangos (mínimo deben ser 5), en el ejemplo se usarán 10 subrangos.

Rango Significa
de 0 a 0,1 0 <= n < 0,1
de 0,1 a 0,2 0,1 <= n < 0,2
de 0,2 a 0,3 0,2 <= n < 0,3
de 0,3 a 0,4 0,3 <= n < 0,4
de 0,4 a 0,5 0,4 <= n < 0,5
de 0,5 a 0,6 0,5 <= n < 0,6
de 0,6 a 0,7 0,6 <= n < 0,7
de 0,7 a 0,8 0,7 <= n < 0,8
de 0,8 a 0,9 0,8 <= n < 0,9
de 0,9 a 1,0 0,9 <= n < 1

Paso 2: Lance el generador de números aleatorios, en el ejemplo se hace unas mil veces. Luego cuente cuantos números caen en cada subrango.

Rango números pseudo-aleatorios en cada rango
de 0 a 0,1 91
de 0,1 a 0,2 102
de 0,2 a 0,3 113
de 0,3 a 0,4 110
de 0,4 a 0,5 87
de 0,5 a 0,6 95
de 0,6 a 0,7 98
de 0,7 a 0,8 104
de 0,8 a 0,9 117
de 0,9 a 1,0 83

Paso 3: En una distribución uniforme ideal la cantidad de números que caen en cada subrango debería ser = Total Números / # SubRangos, es decir, 1000 / 10 = 100

Rango frecuencia obtenida FO frecuencia esperada FE
de 0 a 0,1 91 100
de 0,1 a 0,2 102 100
de 0,2 a 0,3 113 100
de 0,3 a 0,4 110 100
de 0,4 a 0,5 87 100
de 0,5 a 0,6 95 100
de 0,6 a 0,7 98 100
de 0,7 a 0,8 104 100
de 0,8 a 0,9 117 100
de 0,9 a 1,0 83 100

Paso 4: Aplica la siguiente operación ((FE-FO)^2)/FE

Rango frecuencia obtenida FO frecuencia esperada FE ((FE-FO)^2)/FE
de 0 a 0,1 91 100 ((100-91)^2)/100 = 0,81
de 0,1 a 0,2 102 100 0,04
de 0,2 a 0,3 113 100 1,69
de 0,3 a 0,4 110 100 1,00
de 0,4 a 0,5 87 100 1,69
de 0,5 a 0,6 95 100 0,25
de 0,6 a 0,7 98 100 0,04
de 0,7 a 0,8 104 100 0,16
de 0,8 a 0,9 117 100 2,89
de 0,9 a 1,0 83 100 2,89
    Sumatoria 11,46

Paso 5: Nivel de confianza Alpha (entre mas alto, mas confiable). Alpha = 0,05

Paso 6: Como son 10 rangos, tenemos 10-1=9 grados de libertad.

Paso 7: Busque en la tabla cruzando Alpha y los grados de libertad

 V   0.005 0.01 0.025 0.05 0.10
           
1   7.88 6.63 5.02 3.84 2.71
2   10.60 9.21 7.38 5.99 4.61
3   12.84 11.34 9.35 7.81 6.25
4   14.96 13.28 11.14 9.49 7.78
5   16.7 15.1 12.8 11.1 9.2
6   18.5 16.8 14.4 12.6 10.6
7   20.3 18.5 16.0 14.1 12.0
8   22.0 20.1 17.5 15.5 13.4
9   23.6 21.7 19.0 16.9 14.7
10   25.2 23.2 20.5 18.3 16.0
11   26.8 24.7 21.9 19.7 17.3
12   28.3 26.2 23.3 21.0 18.5
13   29.8 27.7 24.7 22.4 19.8
14   31.3 29.1 26.1 23.7 21.1
15   32.8 30.6 27.5 25.0 22.3
16   34.3 32.0 28.8 26.3 23.5
17   35.7 33.4 30.2 27.6 24.8
18   37.2 34.8 31.5 28.9 26.0
19   38.6 36.2 32.9 30.1 27.2
20   40.0 37.6 34.2 31.4 28.4
21   41.4 38.9 35.5 32.7 29.6
22   42.8 40.3 36.8 33.9 30.8
23   44.2 41.6 38.1 35.2 32.0
24   45.6 43.0 39.4 36.4 33.2
25   49.6 44.3 40.6 37.7 34.4
26   48.3 45.6 41.9 38.9 35.6
27   49.6 47.0 43.2 40.1 36.7
28   51.0 48.3 44.5 41.3 37.9
29   52.3 49.6 45.7 42.6 39.1
30   53.7 50.0 47.0 43.8 40.3
40   66.8 63.7 59.3 55.8 51.8
50   79.5 76.2 71.4 67.5 63.2
60   92.0 88.4 83.3 79.1 74.4
70   104.2 100.4 95.0 90.5 85.5
80   116.3 112.3 106.6 101.9 96.6
90   128.3 124.1 118.1 113.1 107.6
100   140.2 135.8 129.6 124.3 118.5

VALORES TOMADOS DEL LIBRO "DISCRETE EVENTS SYSTEM SIMULATION" DE j. BANKS. ED. PRENTICE HALL

Explicación:

Alfa  es el nivel de significación utilizado para calcular el nivel de confianza. El nivel de confianza es igual a 100(1 - alfa)%, es decir, un alfa de 0,05 indica un nivel de confianza de 95%.

Suponga que observamos que en nuestra muestra de 50 personas que realizan diariamente un trayecto, la distancia media de viaje es 30 minutos con una desviación estándar de la población de 2,5. Con alfa = 0,05, INTERVALO.CONFIANZA(0,05, 2,5, 50) devuelve 0,69291. El intervalo de confianza correspondiente será entonces 30 ± 0,69291

 

Paso 8: Comparando. Como 11.46 < 16.9 entonces se acepta la hipótesis que los datos tienen la distribución U(0,1), luego el generador es bueno en uniformidad.